Question

如图：有一轴截面为正三角形的圆锥形容器，内部盛水高度为10cm，放入一个球后，水面恰好与球相切，求球的半径．（圆锥的体积公式V=

1

3

πR²h，其中R为底面半径，h为高线；球的体积公式V=

4

3

πR³，其中R为球的半径）

Answer 1

分析：根据水的高度以及圆锥形容器的轴截面为等边三角形得到水的体积，设出球的半径表示出球的体积，则根据放球后总体积V′=V_球+V_水，得到关于铁球R的方程，解方程即可．

解答：解：如图所示，则△ABS为等边三角形，
∵SG=h=10，DG=

3

3

×10=

10 3

3

，
∴V_水=

π

3

•DG²•SG=

π

9

h³．
设铁球的半径为R，
则SO=2R，SG=3R，
在Rt△FSB中，DG=SGtan∠FSB=

3

R，
设放入球之后，球与水共占体积为V′，
则V′=

π

3

•（DG）²•SG=

π

3

（

3

R）²•3R=3πR³，V_球=

4π

3

R³．
依题意，有V′=V_球+V_水，
即3πR³=

4

3

πR³+

π

9

h³，
∴R=

3 225

15

×10=

2 3 225

3

，
答：铁球的半径为

2 3 225

3

．

点评：本题考查了切线的性质、等边三角形的性质、圆锥的体积公式、球的体积的求法，属于中档题目，也重点考查学生的计算能力．