题目内容

如图，在函数y₁= $数学公式$ （x＜0）和y₂= $数学公式$ （x＞0）的图象上，分别有A、B两点，若AB∥x轴，交y轴于点C，且OA⊥OB，S_△AOC= $数学公式$ ，S_△BOC= $数学公式$ ，则线段AB的长度=________．

$\text{[math]}$
分析：根据反比例函数y= $\text{[math]}$ （k≠0）系数k的几何意义易得两反比例解析式为y=- $\text{[math]}$ ，y= $\text{[math]}$ ，设B点坐标为（ $\text{[math]}$ ，t）（t＞0），则可表示出A点坐标为（- $\text{[math]}$ ，t），然后证明Rt△AOC∽Rt△OBC，得到OC：BC=AC：BC，即t： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ：t，解得t= $\text{[math]}$ ，再确定A、B点的坐标，最后用两点的横坐标之差来得到线段AB的长．
解答：∵S_△AOC= $\text{[math]}$ ，S_△BOC= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ |k₁|= $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ |k₂|= $\text{[math]}$ ，
∴k₁=-1，k₂=9，
∴两反比例解析式为y=- $\text{[math]}$ ，y= $\text{[math]}$ ，
设B点坐标为（ $\text{[math]}$ ，t）（t＞0），
∵AB∥x轴，
∴A点的纵坐标为t，
把y=t代入y=- $\text{[math]}$ 得x=- $\text{[math]}$ ，
∴A点坐标为（- $\text{[math]}$ ，t），
∵OA⊥OB，
∴∠AOC=∠OBC，
∴Rt△AOC∽Rt△OBC，
∴OC：BC=AC：OC，即t： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ：t，
∴t= $\text{[math]}$ ，
∴A点坐标为（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），B点坐标为（3 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
∴线段AB的长度=3 $\text{[math]}$ -（- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ．
故答案为 $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查了反比例函数y= $\text{[math]}$ （k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y= $\text{[math]}$ （k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．