Question

如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB.

   （1）求证：PC是⊙O的切线；

   （2）求证：BC=AB；

   （3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN·MC的值.

                                                                                                                                                            

Answer 1

解：（1）∵OA=OC,∴∠A=∠ACO    

   ∵∠COB=2∠A ,∠COB=2∠PCB            

   ∴∠A=∠ACO=∠PCB     

           ∵AB是⊙O的直径

   ∴∠ACO+∠OCB=90°      

          ∴∠PCB+∠OCB=90°,即OC⊥CP    

∵OC是⊙O的半径                     

  ∴PC是⊙O的切线        

        （2）∵PC=AC  ∴∠A=∠P

         ∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P   

         ∵∠COB=∠A+∠ACO,∠CBO=∠P+∠PCB

 ∴∠CBO=∠COB                

         ∴BC=OC

 ∴BC=AB           

         (3)连接MA,MB                          

         ∵点M是弧AB的中点

  ∴弧AM=弧BM  ∴∠ACM=∠BCM         

∵∠ACM=∠ABM  ∴∠BCM=∠ABM         

         ∵∠BMC=∠BMN

         ∴△MBN∽△MCB                  

 ∴  

∴BM²=MC·MN       

         ∵AB是⊙O的直径，弧AM=弧BM

         ∴∠AMB=90°,AM=BM

   ∵AB=4  ∴BM=   

 ∴MC·MN=BM²=8