Question

已知正n边形共有n条对角线，它的周长等于p，所有对角线长的和等于q，求

q

p

 - 

p

q

的值．

Answer 1

分析：n边形的对角线有

1

2

n•（n-3）条，根据正n边形共有n条对角线，列方程即可求得多边形的边数为5．再作正五边形ABCDE，连接AD，根据正五边形的特点求出△ABC≌△AED，△ACD为等腰三角形，作∠ACD的平分线，交AD于F；根据△ACD与△CDF各角的度数可求出△FCD∽△CAD，根据其对应边成比例即可解答．

解答：解：设这个多边形的边数是n．
根据题意得：

1

2

n•（n-3）=n，
解得：n=5．
则多边形的边数是5．

作正五边形ABCDE，连接AD；
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠ABC=∠BAE=

3×180°

5

=108°，AB=BC，
∴∠BAC=∠ACB=

180°-108°

2

=36°，
同理可知，∠AED=108°，AB=BC=AE=DE，
∴△ABC≌△AED，AC=AD；
∵∠BAC=∠DAE=36°，∠BAE=108°，
∴∠CAD=108°-36°-36°=36°，
∴∠ACD=∠ADC=72°；
作∠ACD的平分线，交AD于F，根据题意，∠CAD=36°，∠ACD=∠ADC=72°；
∴∠ACF=∠FCD=36°，AF=CF=CD，
∴△FCD∽△CAD，
∵正n边形共的周长等于p，所有对角线长的和等于q，
∴CD=

p

5

，AC=

q

5

则

CD

AC

=

FD

CD

，即

p 5

q 5

=

q 5 - p 5

p 5

，
∴

p

q

=

q-p

p

，

p

q

=

q

p

-1，即

q

p

 - 

p

q

=1．
故

q

p

 - 

p

q

的值为1．

点评：本题考查了多边形的对角线与边的关系和正五边形的性质，解答此题的关键是熟知正五边形的特点，及全等、相似三角形的判定定理及性质，作出辅助线，构造出相应的三角形．