Question

（2013•保定二模）如图，矩形AOCD的顶点A的坐标是（0，4）．动点P从点O出发沿线段OC（不包括端点O，C）以每秒2个单位长度的速度匀速向点C运动，同时动点Q从点C出发沿线段CD（不包括端点C，D）以每秒1个单位长度的速度匀速向点D运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t（秒），当t=2（秒）时，PQ=2√5．解答下列问题：
（1）求点D的坐标；
（2）直接写出t的取值范围．
（3）连接AQ并延长交x轴于点E，把AQ沿AD翻折，点Q落在CD延长线上点F处，连接EF．
①t为何值时，PQ∥AF；
②△AEF的面积S是否随t的变化而变化？若变化，求出S与t的函数关系式；若不变化，求出S的值．

Answer 1

分析：（1）由题意可知：当t=2秒时，OP=4，CQ=2，设OC=x，PC=x-4，在Rt△PCQ中，由勾股定理得出方程x-4）²+2²=（2

5

）²，求出即可；
（2）根据D（8，4）即可得出t的取值范围；
（3）①证△CPQ∽△DAF，得出

CP

AD

=

CQ

DF

，代入求出即可；②结论：△AEF的面积S不变化，证△AQD∽△EQC，代入求出CE=

8t

4-t

，由翻折变换的性质得出DF=DQ=4-t，求出CF=8-t，根据S=S_{s四边形AOCF}+S_△CFH-S_△AOE和面积公式代入求出即可．

解答：解：（1）由题意可知：当t=2秒时，OP=4，CQ=2，
设OC=x，
则PC=x-4，
∵在Rt△PCQ中，由勾股定理得：PC²+CQ²=PQ²，
∴（x-4）²+2²=（2

5

）²，
x₁=8，x₂=0（不符合题意舍去），
∵矩形AOCD的顶点A的坐标是（0，4），
∴D（8，4）；

（2）∵D（8，4），
∴t的取值范围是：0＜t＜4；

（3）①∵PQ∥AF，
∴∠PQC=∠AFD，
∵∠ADF=∠PCQ=90°，
∴△CPQ∽△DAF，
∴

CP

AD

=

CQ

DF

，
由翻折变换的性质可知：DF=DQ=4-t，
∴

8-2t

8

=

t

4-t

，
t₁=6+2

5

，t₂=6-2

5

，
由（2）知o＜t＜4，
∴t₁=6+2

5

＞4舍去，
∴当t=6-2

5

时，PQ∥AF；
②结论：△AEF的面积S不变化，
理由是：∵四边形AOCD是矩形，
∴AD∥OE，
∴△AQD∽△EQC，
∴

CE

AD

=

CQ

DQ

，
∴

CE

8

=

t

4-t

，
CE=

8t

4-t

，
由翻折变换的性质可知：DF=DQ=4-t，
则CF=CD+DF=8-t，
S=S_{s四边形AOCF}+S_△CFH-S_△AOE
=

1

2

（OA+CF）×OC+

1

2

CF×CE-

1

2

OA×OE
=

1

2

[4+（8-t）]×8+

1

2

（8-t）•

8t

4-t

-

1

2

×4×（8+

8t

4-t

）
=32（定值），
∴△AEF的面积S不变化，S=32．

点评：本题考查了矩形的性质，三角形的面积，函数的应用等知识点的应用，主要考查学生运用定理和性质进行推理和计算的能力，用了方程思想和函数观点．