Question

在矩形ABCD中，已知两邻边AD=12，AB=5，P是AD边上异于A和D的任意一点，且PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分别是垂足，那么PE+PF=

 

．

Answer 1

分析：首先过A作AG⊥BD于G．根据等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高，则PE+PF=AG．利用勾股定理求得BD的长，再根据三角形的面积计算公式求得AG的长，即为PE+PF的长．

解答：解：如图，过A作AG⊥BD于G，
则S_△AOD=

1

2

×OD×AG，S_△AOP+S_△POD=

1

2

×AO×PF+

1

2

×DO×PE=

1

2

×DO×（PE+PF），
∵S_△AOD=S_△AOP+S_△POD，
∴PE+PF=AG，
∵AD=12，AB=5，
∴BD=

122+52

=13，
∴AG=

12×5

13

=

60

13

，
∴PE+PF=

60

13

．
故答案为：

60

13

．

点评：本题考查矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形的面积计算．解决本题的关键是明白等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高．