题目内容

如图，抛物线y=x²-2x+ $数学公式$ 与y轴交于点C，与x轴交于点A、B（B点在A点的右侧）．若点P是抛物线对称轴上的一动点，则△OCP的面积为；若点P（1，a）是抛物线对称轴上的一动点，且满足△PBC的面积为2，则a的值为．

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
分析：根据抛物线的对称轴，可得出△OCP的边OC上的高，继而可计算△OCP的面积；由B、C坐标求出直线BC解析式，设BC与抛物线交点为D，用含a的式子表示出DP，根据S_△PBC=S_△PDC+S_△PDB，可得出关于a的方程，解出即可．
解答：

解：∵抛物线解析式为y=x²-2x+ $\text{[math]}$ ，
∴抛物线对称轴为直线x=1，点C的坐标为（0， $\text{[math]}$ ），
∴S_△OCP= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ×1= $\text{[math]}$ ；
令x²-2x+ $\text{[math]}$ =0，
解得：x₁= $\text{[math]}$ ，x₂= $\text{[math]}$ ，
故点A的坐标为（ $\text{[math]}$ ，0），点B的坐标为（ $\text{[math]}$ ，0），
设直线BC与抛物线对称轴交于点D，其解析式为y=kx+b，
将点B、点C坐标代入可得： $\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ ，
故直线BC的解析式为y=- $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ，
则点D的坐标为（1， $\text{[math]}$ ），PD=|a- $\text{[math]}$ |，
则S_△PBC=S_△PDC+S_△PDB= $\text{[math]}$ PD×OM+ $\text{[math]}$ PD×BM= $\text{[math]}$ PD×OB= $\text{[math]}$ |a- $\text{[math]}$ |× $\text{[math]}$ =2，
解得：a= $\text{[math]}$ 或a=- $\text{[math]}$ ．
故答案为： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、- $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求一次函数解析式、抛物线与x轴的交点及三角形的面积，最后一空的关键是用含a的式子表示出△PBC的面积，难度较大．