Question

已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧．
（1）当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长；
（2）将（1）问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFC为正方形B′EFG，当点E与点C重合时停止平移．设平移的距离为t，正方形B′EFG的边EF与AC交于点M，连接B′D，B′M，DM，是否存在这样的t，使△B′DM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）问的平移过程中，设正方形B′EFG与△ADC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围．

Answer 1

解：（1）如图①，
设正方形BEFG的边长为x，
则BE=FG=BG=x，
∵AB=3，BC=6，
∴AG=AB-BG=3-x，
∵GF∥BE，
∴△AGF∽△ABC，
∴，
即，
解得：x=2，
即BE=2；

（2）存在满足条件的t，
理由：如图②，过点D作DH⊥BC于H，
则BH=AD=2，DH=AB=3，
由题意得：BB′=HE=t，HB′=|t-2|，EC=4-t，
∵EF∥AB，
∴△MEC∽△ABC，
∴，即，
∴ME=2-t，
在Rt△B′ME中，B′M²=ME²+B′E²=2²+（2-t）²=t²-2t+8，
在Rt△DHB′中，B′D²=DH²+B′H²=3²+（t-2）²=t²-4t+13，
过点M作MN⊥DH于N，
则MN=HE=t，NH=ME=2-t，
∴DN=DH-NH=3-（2-t）=t+1，
在Rt△DMN中，DM²=DN²+MN²=t²+t+1，
（Ⅰ）若∠DB′M=90°，则DM²=B′M²+B′D²，
即t²+t+1=（t²-2t+8）+（t²-4t+13），
解得：t=，
（Ⅱ）若∠B′MD=90°，则B′D²=B′M²+DM²，
即t²-4t+13=（t²-2t+8）+（t²+t+1），
解得：t₁=-3+，t₂=-3-（舍去），
∴t=-3+；
（Ⅲ）若∠B′DM=90°，则B′M²=B′D²+DM²，
即：t²-2t+8=（t²-4t+13）+（t²+t+1），
此方程无解，
综上所述，当t=或-3+时，△B′DM是直角三角形；

（3）①如图③，当F在CD上时，EF：DH=CE：CH，
即2：3=CE：4，
∴CE=，
∴t=BB′=BC-B′E-EC=6-2-=，
∵ME=2-t，
∴FM=t，
当0≤t≤时，S=S_△FMN=×t×t=t²，
②如图④，当G在AC上时，t=2，
∵EK=EC•tan∠DCB=EC•=（4-t）=3-t，
∴FK=2-EK=t-1，
∵NL=AD=，
∴FL=t-，
∴当＜t≤2时，S=S_△FMN-S_△FKL=t²-（t-）（t-1）=-t²+t-；
③如图⑤，当G在CD上时，B′C：CH=B′G：DH，
即B′C：4=2：3，
解得：B′C=，
∴EC=4-t=B′C-2=，
∴t=，
∵B′N=B′C=（6-t）=3-t，
∵GN=GB′-B′N=t-1，
∴当2＜t≤时，S=S_梯形GNMF-S_△FKL=×2×（t-1+t）-（t-）（t-1）=-t²+2t-，
④如图⑥，当＜t≤4时，
∵B′L=B′C=（6-t），EK=EC=（4-t），B′N=B′C=（6-t），EM=EC=（4-t），
S=S_梯形MNLK=S_{梯形B′EKL}-S_{梯形B′EMN}=-t+．
综上所述：
当0≤t≤时，S=t²，
当＜t≤2时，S=-t²+t-；
当2＜t≤时，S=-t²+2t-，
当＜t≤4时，S=-t+．
分析：（1）首先设正方形BEFG的边长为x，易得△AGF∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得BE的长；
（2）首先利用△MEC∽△ABC与勾股定理，求得B′M，DM与B′D的平方，然后分别从若∠DB′M=90°，则DM²=B′M²+B′D²，若∠DB′M=90°，则DM²=B′M²+B′D²，若∠B′DM=90°，则B′M²=B′D²+DM²去分析，即可得到方程，解方程即可求得答案；
（3）分别从当0≤t≤时，当＜t≤2时，当2＜t≤时，当＜t≤4时去分析求解即可求得答案．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、直角梯形的性质以及勾股定理等知识．此题难度较大，注意数形结合思想、方程思想与分类讨论思想的应用，注意辅助线的作法．