Question

如图，已知一次函数y =  -  x +7与正比例函数y  =   x的图象交于点A，且与x轴交于点B.

（1）求点A和点B的坐标；

（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y轴．动点P从原点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度沿x轴向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒.

①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？

②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由． （2011江苏盐城第28题改编）

Answer 1

解：（1）根据题意，得，解得 ，∴A(3，4) . …………………2分

令y=-x+7=0，得x=7．∴B（7，0）. …………………………2分

（2）①当P在OC上运动时，0≤t＜4.

由S_△APR=S_梯形COBA-S_△ACP-S_△POR-S_△ARB=8，得

(3+7)×4-×3×(4-t)- t(7-t)- t×4=8

整理,得t²-8t+12=0,  解之得t₁=2,t₂=6（舍）  …………………………2分

当P在CA上运动，4≤t＜7.

由S_△APR= ×(7-t) ×4=8，得t=3（舍）…………………………2分

∴当t=2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8.

 ②当P在OC上运动时，0≤t＜4.

∴AP=，AQ=t，PQ=7-t

当AP =AQ时， （4-t）²+3²=2(4-t)²,

整理得，t²-8t+7=0. ∴t=1, t=7(舍)

当AP=PQ时，（4-t）²+3²=(7-t)²,

整理得，6t=24. ∴t=4(舍去)

当AQ=PQ时，2（4-t）²=(7-t)²

整理得，t²-2t-17=0 ∴t=1±3 (舍)

当P在CA上运动时，4≤t＜7. 过A作AD⊥OB于D,则AD=BD=4.

设直线l交AC于E，则QE⊥AC，AE=RD=t-4，AP=7-t.

由cos∠OAC=  = ，得AQ = (t-4)．

当AP=AQ时，7-t = (t-4)，解得t = . 

当AQ=PQ时，AE＝PE，即AE= AP

得t-4= (7-t)，解得t =5.

当AP=PQ时，过P作PF⊥AQ于F

AF= AQ = ×(t-4).

在Rt△APF中，由cos∠PAF＝  ＝ ，得AF＝ AP

即 ×(t-4)= ×(7-t)，解得t= .

∴综上所述，t=1或 或5或  时，△APQ是等腰三角形. …………………4个答案各1分