Question

已知：在如图1所示的平面直角坐标系xOy中，A，C两点的坐标分别为，

（其中n＞0），点B在x轴的正半轴上．动点P从点O出发，在四边形OABC的边上依次沿O—A—B—C的顺序向点C移动，当点P与点C重合时停止运动．设点P移动的路径的长为l，△POC的面积为S，S与l的函数关系的图象如图2所示，其中四边形ODEF是等腰梯形．

1.（1）结合以上信息及图2填空：图2中的m=         ；

2.（2）求B，C两点的坐标及图2中OF的长；

3.（3）在图1中，当动点P恰为经过O，B两点的抛物线W的顶点时，

    ①求此抛物线W的解析式；

    ② 若点Q在直线上方的抛物线W上，坐标平面内另有一点R，满足以B，

P，Q，R四点为顶点的四边形是菱形，求点Q的坐标．

 

Answer 1

 

1.（1）图2中的m=

2.（2）∵ 图11（原题图2）中四边形ODEF是等腰梯形，点D的坐标为，

∴ ，此时原题图1中点P运动到与点B重合，

∵ 点B在x轴的正半轴上，

         ∴ ．

         解得 ，点B的坐标为． ………………………………………2分

   此时作AM⊥OB于点M，CN⊥OB于点N．（如图12）．

∵ 点C的坐标为，

∴ 点C在直线上．

又由图11（原题图2）中四边形ODEF是等腰梯形可知图12中的点C在过点O与AB平行的直线l上，

∴ 点C是直线与直线l的交点，且．

又∵ ，即AM= CN，

可得△ABM≌△CON．

∴ ON=BM=6，点C的坐标为．……………………………………3分

∵ 图12中 ．

∴ 图11中，． …………………4分

 

 

 

 

 

 

 

 

      

 

3.（3）①当点P恰为经过O，B两点的抛物线的顶点时，作PG⊥OB于点G．

（如图13）

∵O，B两点的坐标分别为，，

   ∴由抛物线的对称性可知点P的横坐标为4，即OG=BG=4．

    由可得PG=2．

   ∴ 点P的坐标为．………………5分

   设抛物线W的解析式为（a≠0）．

   ∵ 抛物线过点，

∴．

解得．

∴ 抛物线W的解析式为．

…………………………………6分

 

②如图14．

   i）当BP为以B，P，Q，R为顶点的菱

形的边时，

    ∵ 点Q在直线上方的抛物线W

上，点P为抛物线W的顶点，结合抛

物线的对称性可知点Q只有一种情况，

点Q与原点重合，其坐标为．

……………………………………7分

  ii）当BP为以B，P，Q，R为顶点的菱形的对角线时，

     可知BP的中点的坐标为，BP的中垂线的解析式为．

     ∴点的横坐标是方程的解．

     将该方程整理得．

     解得．

     由点Q在直线上方的抛物线W上，结合图14可知点的横坐标为．

     ∴点的坐标是． …………………………8分

  综上所述，符合题意的点Q的坐标是，．

解析:略