Question

已知关于x的方程x²-2（a+1）x+a²+2=0有两个实数根x₁，x₂
（1）求a的取值范围；
（2）若（x₁+1）（x₂+1）=8，求a的值．

Answer 1

分析：（1）根据判别式的意义得到△=4（a+1）²-4（a²+2）≥0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得x₁+x₂=2（a+1），x₁•x₂=a²+2，再把（x₁+1）（x₂+1）=8整理得x₁•x₂+x₁+x₂+1=8，所以a²+2+2（a+1）+1=8，解关于a的方程，然后根据（1）中的条件确定a的值．

解答：解：（1）根据题意得△=4（a+1）²-4（a²+2）≥0，
解得a≥

1

2

；
（2）根据题意得x₁+x₂=2（a+1），x₁•x₂=a²+2，
∵（x₁+1）（x₂+1）=8，
∴x₁•x₂+x₁+x₂+1=8，
∴a²+2+2（a+1）+1=8，
整理得a²+2a-3=0，解得a₁=-3，a₂=1，
∵a≥

1

2

，
∴a=1．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的根与系数的关系．