Question

【题目】如图1，抛物线：与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．已知点A的坐标为（﹣1，0），点O为坐标原点，OC=3OA，抛物线的顶点为G．

（1）求出抛物线的解析式，并写出点G的坐标；

（2）如图2，将抛物线向下平移k（k＞0）个单位，得到抛物线，设与x轴的交点为、，顶点为，当△是等边三角形时，求k的值：

（3）在（2）的条件下，如图3，设点M为x轴正半轴上一动点（介于O与B之间），过点M作x轴的垂线分别交抛物线、于P、Q两点，是否存在M点，使得以A、Q、M为顶点的三角形与以P、M、B为顶点的三角形相似，若存在，求出点M的坐标：若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）, G的坐标为（1，4）（2）k=1；（3）M点的坐标为

【解析】

（1）由点A的坐标及OC=3OA得点C坐标，将A、C坐标代入解析式求解可得；
（2）设抛物线C2的解析式为y=-x2+2x+3-k，即y=-（x-1）2+4-k，′作G′D⊥x轴于点D，设B′D=m，由等边三角形性质知点B′的坐标为（m+1，0），点G′的坐标为（1，m），代入所设解析式求解可得；
（3）设M（a，0），则P（a，-a2+2a+3）、Q（a，-a2+2a+2），分别用含a的式子表示AM,BM,PM,QM.再由题意分两种情况相似：①△AMQ∽△BMP,②△AMQ∽△PMB.根据对应边成比例建立关于a的方程，解之求得a的值从而进一步求解．

解：（1）∵点A的坐标为（﹣1，0），

∴OA=1，

∴OC=3OA，

∴点C的坐标为（0，3），

将A、C坐标代入，得：

解得：，

∴抛物线C1的解析式为，

所以点G的坐标为（1，4）．

（2）设抛物线C2的解析式为，即，

过点G′作轴于点D，设，

∵△为等边三角形，

∴，

则点的坐标为（m+1，0），点的坐标为（1，m），

将点、的坐标代入，得：

，

解得：(舍去)

∴k=1；

（3）设M（，0），则，

∵M介于O与B之间，∴

∵A(-1,0),B(3,0)

分两种情况：

当△AMQ∽△BMP时，有，可得

（舍去）

∴

②当△AMQ∽△PMB时，有，可得

整理得

解得：

∴

综上所述M点的坐标为