Question

【题目】以四边形的边、、、为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为、、、，顺次连结这四个点，得四边形．

（1）如图1，当四边形为矩形时，请判断四边形的形状（不要求证明）．

（2）如图2，当四边形为一般平行四边形时，设

①试用含的代数式表示，写出解答过程；

②求证：，并判断四边形是什么四边形？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）四边形是正方形；

（2）①=90°+，②HE=HG证明过程见详解；

四边形是正方形，理由见详解．

【解析】

(1)根据等腰直角三角形的性质得到∠E=∠F=∠G=∠H=90°，求出四边形是矩形，根据勾股定理求出AH=HD=AD，DG=GC=DC ，BF=CF=BC，EA=EB=AB，推出EF=FG=GH=EH，根据正方形的判定推出四边形EFGH是正方形即可；
(2)①根据平行四边形的性质得出，∠BAD=180°-，根据△HAD和△EAB是等腰直角三角形，得到∠HAD=∠EAB=45°，求出∠HAE即可；
②根据△AEB和△DGC是等腰直角三角形，得出AE=AB，DG=CD，平行四边形的性质得出AB=CD，求出∠HDG=90°+=∠HAE，根据SAS证△HAE≌△HDG，根据全等三角形的性质即可得出HE=HG；同理可得GH=GF，FG=FE，推出GH=GF=EF=HE，得出菱形EFGH，根据∠AHD=90°得∠EHG=90°，即可推出结论．

解：（1）∵以矩形的边、、、为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，

∴∠E=∠F=∠G=∠H=90°，∠HAD=∠EAB=45°，∠BAD=90°，

∴∠EAH=180°，即E、A、H三点在一条直线上，

同理可知：E、B、F三点共线，F、C、G三点共线，G、D、H三点共线，

∴AH=HD=AD，DG=GC=DC ，BF=CF=BC，EA=EB=AB，

∴EF=FG=GH=EH，

∴四边形EFGH是正方形．

（2）①∠HAE=90°+

解：在平行四边形ABCD中
AB//CD，
∴∠BAD=180°-∠ADC=180°-

∵△HAD和△EAB是等腰直角三角形,
∴∠HAD=∠EAB=45°，

∴∠HAE=360°-∠HAD-∠EAB-∠BAD=360°-45°-45°-(180°-)=90°+
故用含的代数式表示∠HAE是90°+
，
②证明：∵△AEB和△DGC是等腰直角三角形，

∴AE=AB，DG=DC

∵平行四边形ABCD中，AB=CD，
∴AE=DG，
∵△AHD和△DGC是等腰直角三角形，
∴∠HDA=∠CDG=45°，
∴∠HDG=∠HDA+∠ADC+∠CDG=90°+=∠HAE

∵△AHD是等腰直角三角形
∴HA=HD
∴△HAE≌△HDG
∴HE=HG.
答:四边形EFGH是正方形
理由是:

由以上同理可得:
GH=GF，FG=FE，
∵HE=HG，
∴GH=GF=EF=HE，

∴四边形EFGH是菱形，
∵△HAE≌△HDG，
∴∠DHG=∠AHE，
∵∠AHD=∠AHG+∠DHG=90°

∴∠EHG=∠AHG+∠AHE=90°

∴四边形EFGH是正方形．