Question

如图：正方形ABCO的边长为3，过A（0，3）点作直线AD交x轴于D点，且D点的坐标为（4，0），线段AD上有一动点，以每秒一个单位长度的速度移动．
（1）求直线AD的解析式；
（2）若动点从A点开始沿AD方向运动2.5秒时到达的位置为点P，求经过B、O、P三点的抛物线的解析式；
（3）若动点从A点开始沿AD方向运动到达的位置为点P₁，过P₁作P₁E⊥x轴，垂足为E，设四边形BCEP₁的面积为S，请问S是否有最大值？若有，请求出P点坐标和S的最大值；若没有，请说明理由．

Answer 1

（1）设直线AD的解析式为y=kx+b（k≠0），
则

3=b 0=4k+b

，
解得

k=- 3 4 b=3

．
解析式为：y=-

3

4

x+3．

（2）因为AP=2.5，AD=5，
所以P（2，1.5），
设过B，O，P的抛物线为y=ax²+bx+c（a≠0），
将B（-3，3），O（0，0），P（2，1.5），
则

3=9a-3b+c 0=c 4a+2b+c=1.5

，
解得

a= 7 20 b= 1 20 c=0

，
解析式为y=

7

20

x²+

1

20

x．

（3）设P（x，y），
则y=-

3

4

x+3
S=

1

2

（y+3）×（3+x）
即S=-

3

8

x²+

15

8

x+9
所以P₁（

5

2

，

9

8

）时，S_最大=

363

32

．