Question

已知□ABCD ，对角线AC 与BD 相交于点O ，点P 在边AD 上，过点P 分别作PE⊥AC、PF⊥BD，垂足分别为E、F，PE＝PF。
（1）如图10，若PE＝，EO＝1，求∠EPF的度数；  
（2）若点P是AD的中点，点F是DO的中点，BF ＝BC＋3－4，求BC的长。

Answer 1

（1 ）解：连结PO， PE＝PF，PO＝PO，PE⊥AC、PF⊥BD， ∴Rt△PEO≌Rt△PFO， ∴∠EPO＝∠FPO， 在Rt△PEO中，       tan∠EPO=， ∠EPO＝30°， ∴∠EPF ＝60°； （2）∵点P 是AD 的中点， ∴AP＝DP， 又∵ PE＝PF， ∴Rt △PEA≌Rt △PFD， ∴∠OAD＝∠ODA， ∴OA＝OD， ∴ AC＝2OA ＝2OD ＝BD， ∴□ABCD是矩形， ∵点P 是AD的中点，点F是DO的中点， ∴AO∥PF， ∵PF⊥BD， ∴AC⊥BD， ∴□ABCD是菱形， ∴□ABCD是正方形， ∴ BD＝BC， ∵BF＝BD， ∴BC＋3－4＝BC， 解得，BC＝4