Question

如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于E，，AD=6．
（1）求证：△ABE∽△ADB；
（2）延长DB到F，使BF=BO，连接FA，求证：FA是⊙O的切线．

Answer 1

证明：（1）∵弧AB=弧AC，
∴∠D=∠ABC，
又∵∠BAE为公共角，
∴△ABE∽△ADB．

（2）连接AO，
∵BD为直径，
∴∠BAD=90°，
又∵，AD=6，
∴BD=4，
∴AO=BO=OD=，
∴BF=AB=BO，
∴△AFO是直角三角形，
∴∠FAO=90°，
∴FA是⊙O的切线．
分析：由图知∠C=∠D，∠BAE为公共角所以很容易判断△ABE∽△ADB；
若要证明FA是⊙O的切线，则需要证得AO⊥AF或证明△AFO是直角三角形即可．
点评：本题考查了相似三角形的判定和切线的判定，常见的相似判定方法有AA，SAS，SSS；切线的判定是：连接圆心和某一点再证垂直．