Question

如图，∠ACB=90°，∠BAC=30°，△ABD和△ACE都是等边三角形，F为AB中点，DE交AB于G点，下列结论中：
①EF⊥AC；②四边形ADFE是菱形； ③AD=4AG；④△DBF≌△EFA．正确的结论是

1. A.
   ②④
2. B.
   ①③
3. C.
   ②③④
4. D.
   ①③④

Answer 1

D
分析：运用等边三角形的性质，平行四边形的判定，三角形的全等即可解出本题．
解答：解：（1）如图，连接CF，∠ABC=60°．△ABC是直角三角形，
所以CF=AB=AF，
△ACE是等边三角形，
所以AE=CE，而△AEF与△CEF共一条边，由此可知，△AEF≌△CEF．
所以A点和C点是关于EF的对称点，EF⊥AC成立；
（2）F是AB中点，所以DF⊥AB，那么在△ADF中AD是斜边，DF是直角边，
即AD＞DF，由此可知四边形ADFE不可能是菱形．
（3）∠DAB=∠ABC=60°，所以AD∥BC．AC⊥EF，∠ACB=90°，所以EF∥AD．由上可知AD∥EF．
EF=2AF=AD．
故AD=EF．
四边形ADFE是平行四边形，AG=AF=AB=AD，
即AD=4AG．
（4）由四边形ADFE是平行四边形可得AE=DF，AD=FE，而AD=DB，
所以DB=FE，AF=FB，
故得△DBF≌△EFA．
点评：本题综合运用等边三角形的性质，三角形的全等，直角三角形的中线以及平行四边形的判定．