Question

如图1～4所示，每个图中的“7”字形是由若干个边长相等的正方形拼接而成，“7”字形的一个顶点P落在反比例函数y=的图象上，另“7”字形有两个顶点落在x轴上，一个顶点落在y轴上．
（1）图1中的每一个小正方形的面积是______；
（2）按照图1→图2→图→图4→…这样的规律拼接下去，第n个图形中每一个小正方形的面积是______．（用含n的代数式表示）

Answer 1

解：（1）作PA⊥y轴于A，图中的“7”字形与坐标轴的交点分别为B、C、D，如图1，
设每一个小正方形的边长为a，
易证得Rt△ECD∽Rt△OBC∽Rt△APB，
∴=，=，
∴====1，
在RtOBC中，BC=a，
∵OB²+OC²=BC²=a²，OB=OC，
∴OB=，
在Rt△ABP中，PB=2a，
∵AB²+AP²=BP²=4a²，AB=AP，
∴AB=AP=a，
∴OA=，
∴P点坐标为（，），
∴•=1，
∴a²=；

（2）如图2，同样得到Rt△ECD∽Rt△OBC∽Rt△APB，
∴=，=，
∴====2，
在RtOBC中，BC=a，
∵OB²+OC²=BC²=a²，OB=2OC，
∴OB=，
在Rt△ABP中，PB=3a，
∵AB²+AP²=BP²=9a²，AB=2AP，
∴AB=，AP=
∴OA=，
∴P点坐标为（，），
∴•=1，
∴a²=；
如图3，易证得Rt△ECD∽Rt△OBC∽Rt△APB，
∴=，=，
∴====3，
同理可得a²=；
如图4，易证得Rt△ECD∽Rt△OBC∽Rt△APB，
∴=，=，
∴====4，
同理可得a²=；
∵第1个图每一个小正方形的面积===；
第2个图每一个小正方形的面积===；
第3个图每一个小正方形的面积==；
第4个图每一个小正方形的面积===，
∴第n个图每一个小正方形的面积=．
故答案为（1）；（2）．
分析：（1）作PA⊥y轴于A，图中的“7”字形与坐标轴的交点分别为B、C、D，如图1，设每一个小正方形的边长为a，证得Rt△ECD∽Rt△OBC∽Rt△APB，利用相似比得到====1，再分别在在RtOBC和Rt△ABP中，利用勾股定理得到OB=，AB=AP=a，则P点坐标为（，），然后把P点坐标代入反比例函数解析式得到a²=；
（2）对于如图2、图3、图4利用同样的方法可得到每一个小正方形的面积，然后把计算的结果进行变形，观察其中的规律，可发现第n个图每一个小正方形的面积=．
点评：本题考查了反比例函数的综合题：反比例函数图象的点的坐标满足其函数解析式；熟练运用正方形的性质、相似三角形的相似比和勾股定理进行计算．