题目内容
在平面直角坐标系中，直线AC交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点C，过点C作直线CB垂直AC交x轴于点B，且AB=25，OC=12，P在线段OC上，且PO、PC的长是关于x的方程x2-12x+32=0两根（PO＜PC）
（1）求直线BC的解析式；
（2）点M（0，a）是y轴正半轴上一点，令S△BMC=S，写出S关于a的函数关系式；
（3）E在直线BC上，是否在平面上有一点F，使以点E、F、B、P为顶点的四边形是菱形？若有直接写出点E的坐标；若无，说明理由．
（1）求直线BC的解析式；
（2）点M（0，a）是y轴正半轴上一点，令S△BMC=S，写出S关于a的函数关系式；
（3）E在直线BC上，是否在平面上有一点F，使以点E、F、B、P为顶点的四边形是菱形？若有直接写出点E的坐标；若无，说明理由．
考点：一次函数综合题
专题：
分析：（1）由OC⊥AB，CB⊥CA，结合射影定理可得AO•OB=OC2，且AB=25，可求得OB的长，则B点的坐标可得，进一步可求得BC的解析式；
（2）分M在C点上方和在C点下方，则可以表示出MC的长度，把MC当底则OB为高，可表示出S和a的关系；
（3）根据菱形的性质，可得菱形的四边相等，根据菱形的四边相等，可得方程，根据解方程，可得答案．
（2）分M在C点上方和在C点下方，则可以表示出MC的长度，把MC当底则OB为高，可表示出S和a的关系；
（3）根据菱形的性质，可得菱形的四边相等，根据菱形的四边相等，可得方程，根据解方程，可得答案．
解答：解：（1）设B点坐标是（x，0），A点坐标是（25-x，0），由勾股定理，得
OA2+OC2=AC2，OB2+OC2=OB2，OA2+OB2=AB2，
即OA2+OC2+OB2+OC2=AB2，
（25-x）2+122+x2+122=252，
化简，得
x2-25x+144=0，
解得x=16或x=9，
B（16，0），或（9，0）．
当B（16，0）时，直线BC的解析式为y=-
x+12，
当B（9，0）时，直线BC的解析式为y=-
x+12；
（2）当B（16，0）时，M在C点上方，S△BMC=
MC•OB=
（a-12）×16=8a-96；
当B（16，0）时，M在C点下方时，S△BMC=
MC•OB=
（-a+12）×16=-8a+96；
当B（9，0）时，M在C点上方，S△BMC=
MC•OB=
（a-12）×9=
a-54；
当B（9，0）时，M在C点下方时，S△BMC=
MC•OB=
（-a+12）×9=-
a+54；
（3）解x2-12x+32=0，得
x=4或x=8（不符合题意的要舍去），
P（0，4）．
①当B（16，0）时，直线BC的解析式为y=-
x+12，时，设E（x，-
x+12），
EP=PF=FB=BE，得x2+（-
x+12-4）2=（x-16）2+（-
x+12）2，
解得x=
，-
x+12=
，E（
，
）；
EF=FP=PB=BE，得（x-16）2+（-
x+12）2=42+162，
解得x=
（不符合题意的要舍去）x=
，y=-
x+12=
，E（
，
）；
EP=PB=BF=FE，得x2+（-
x+12-4）2=42+162，
解得x=
，y=-
x+12=
，E（
，
）；
综上所述：E（
，
），
，
），（
，
）；
②当B（9，0）时，直线BC的解析式为y=-
x+12，时，设E（x，-
x+12），
EP=PF=FB=BE，得x2+（-
x+12-4）2=（x-9）2+（-
x+12）2，
解得x=
，-
x+12=
，E（
，
）；
EF=FP=PB=BE，得（x-9）2+（-
x+12）2=42+92，
解得x=
，-
x+12=
，E（
，
）；
EP=PB=BF=FE，得x2+（-
x+12-4）2=42+92，
解得x=
，-
x+12=
，E（
，
），
综上所述：E（
，
），（
，
），（
，
）．
OA2+OC2=AC2，OB2+OC2=OB2，OA2+OB2=AB2，
即OA2+OC2+OB2+OC2=AB2，
（25-x）2+122+x2+122=252，
化简，得
x2-25x+144=0，
解得x=16或x=9，
B（16，0），或（9，0）．
当B（16，0）时，直线BC的解析式为y=-
| 3 |
| 4 |
当B（9，0）时，直线BC的解析式为y=-
| 4 |
| 3 |
（2）当B（16，0）时，M在C点上方，S△BMC=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
当B（16，0）时，M在C点下方时，S△BMC=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
当B（9，0）时，M在C点上方，S△BMC=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 9 |
| 2 |
当B（9，0）时，M在C点下方时，S△BMC=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 9 |
| 2 |
（3）解x2-12x+32=0，得
x=4或x=8（不符合题意的要舍去），
P（0，4）．
①当B（16，0）时，直线BC的解析式为y=-
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
EP=PF=FB=BE，得x2+（-
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
解得x=
| 168 |
| 19 |
| 3 |
| 4 |
| 172 |
| 19 |
| 168 |
| 19 |
| 172 |
| 19 |
EF=FP=PB=BE，得（x-16）2+（-
| 3 |
| 4 |
解得x=
80+16
| ||
| 5 |
80-16
| ||
| 5 |
| 3 |
| 4 |
12
| ||
| 5 |
80-16
| ||
| 5 |
12
| ||
| 5 |
EP=PB=BF=FE，得x2+（-
| 3 |
| 4 |
解得x=
96-4
| ||
| 25 |
| 3 |
| 4 |
300+3
| ||
| 25 |
96-4
| ||
| 25 |
300+3
| ||
| 25 |
综上所述：E（
| 168 |
| 19 |
| 172 |
| 19 |
80-16
| ||
| 5 |
12
| ||
| 5 |
96-4
| ||
| 25 |
300+3
| ||
| 25 |
②当B（9，0）时，直线BC的解析式为y=-
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
EP=PF=FB=BE，得x2+（-
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
解得x=
| 483 |
| 248 |
| 4 |
| 3 |
| 683 |
| 62 |
| 483 |
| 248 |
| 683 |
| 62 |
EF=FP=PB=BE，得（x-9）2+（-
| 4 |
| 3 |
解得x=
96-
| ||
| 18 |
| 4 |
| 3 |
132+2
| ||
| 27 |
96-
| ||
| 18 |
132+2
| ||
| 27 |
EP=PB=BF=FE，得x2+（-
| 4 |
| 3 |
解得x=
96-
| ||
| 25 |
| 4 |
| 3 |
516+4
| ||
| 75 |
96-
| ||
| 25 |
516+4
| ||
| 75 |
综上所述：E（
| 483 |
| 248 |
| 683 |
| 62 |
96-
| ||
| 18 |
132+2
| ||
| 27 |
96-
| ||
| 25 |
516+4
| ||
| 75 |
点评：本题考查了一次函数综合题，利用了待定系数法求解析式，三角形的面积公式，菱形的性质，分类讨论是解题关键，计算量大，题目难度较大．
练习册系列答案
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比x的相反数小2的数是（ ）
| A、-x+2 | B、-x-2 |
| C、-（x-2） | D、x-2 |