Question

如图，点B、C、D都在⊙O上，过点C作AC∥BD交OB延长线于点A，连接CD，且∠CDB=∠OBD=30°，DB=6

3

cm．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）求⊙O的半径长；
（3）求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积（结果保留π）．

Answer 1

分析：（1）连接CO，由角的等量关系可以证得∠ACO=90°，即能证得切线存在，
（2）由AC∥BD得到∠BEO=∠ACO=90°，在Rt△BEO中解得OB，
（3）首先证明△CDE≌△OBE，阴影部分面积等于S_扇形OBC．

解答：（1）证明：连接CO．
∵∠CDB=∠OBD=30°，
∴∠BOC=60°．（1分）
∵AC∥BD，
∴∠A=∠OBD=30°．
∴∠ACO=90°．
∴AC为⊙O切线．（2分）

（2）解：∵∠ACO=90°，AC∥BD，
∴∠BEO=∠ACO=90°．
∴DE=BE=

1

2

BD=3

3

．（3分）
在Rt△BEO中，sin∠O=sin60°=

BE

OB

，
∴

3

2

=

3 3

OB

．∴OB=6．
即⊙O的半径长为6cm．（4分）

（3）解：∵∠CDB=∠OBD=30°，
又∵∠CED=∠BEO，BE=ED，∴△CDE≌△OBE．
∴S阴=S扇OBC=

60π×62

360

=6π（cm²）（5分）
答：阴影部分的面积为6πcm²．

点评：本题考查了切线的判定，扇形面积的计算和解直角三角形等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．