Question

如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ=CE时，EP+BP=　12　．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；三角形中位线定理．

分析：延长BQ交射线EF于M，根据三角形的中位线平行于第三边可得EF∥BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠M=∠CBM，再根据角平分线的定义可得∠PBM=∠CBM，从而得到∠M=∠PBM，根据等角对等边可得BP=PM，求出EP+BP=EM，再根据CQ=CE求出EQ=2CQ，然后根据△MEQ和△BCQ相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．

解答：解：如图，延长BQ交射线EF于M，

∵E、F分别是AB、AC的中点，

∴EF∥BC，

∴∠M=∠CBM，

∵BQ是∠CBP的平分线，

∴∠PBM=∠CBM，

∴∠M=∠PBM，

∴BP=PM，

∴EP+BP=EP+PM=EM，

∵CQ=CE，

∴EQ=2CQ，

由EF∥BC得，△MEQ∽△BCQ，

∴==2，

∴EM=2BC=2×6=12，

即EP+BP=12．

故答案为：12．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，延长BQ构造出相似三角形，求出EP+BP=EM并得到相似三角形是解题的关键，也是本题的难点．