题目内容

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5， $数学公式$ ，D是斜边AB上一点，过点A作AE⊥CD，垂足为E，AE交直线BC于点F．
（1）当 $数学公式$ 时，求线段BF的长；
（2）当点F在边BC上时，设AD=x，BF=y，求y关于x的函数解析式，及其定义域；
（3）当 $数学公式$ 时，求线段AD的长．

解：（1）在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5， $\text{[math]}$ ，
∴BC=4，AC=3，
∵AE⊥CD，∠ACB=90°，
∴∠BCD+∠AFC=90°，∠AFC+∠CAF=90°，
∴∠CAF=∠BCD
∴ $\text{[math]}$ ，
又∵∠ACB=90°，AC=3，
∴CF= $\text{[math]}$ ，BF= $\text{[math]}$

（2）过点B作BG∥AC，交CD延长线于点G，

∴ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ①
在Rt△ACF与Rt△CBG中，
由（1）得tan∠CAF=tan∠BCD，

∴ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，②
由①②得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

（3）1°当点F在线段BC上时，
把 $\text{[math]}$ 代入 $\text{[math]}$ 解得 $\text{[math]}$ ，
2°当点F在CB延长线上时，
设AD=x，由（2）同理可得 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$
综上所述当 $\text{[math]}$ 时，线段AD的长为 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$
分析：（1）由题意先求出AC，BC的长，由AE⊥CD和∠ACB=90°，证明出∠CAF=∠BCD，再由 $\text{[math]}$ ，可知 $\text{[math]}$ ，求得CF，从而求得线段BF的长；
（2）通过分析，作辅助线，过点B作BG∥AC，交CD延长线于点G，根据平行线的性质得： $\text{[math]}$ ，再由（1）得 $\text{[math]}$ ，根据以上两个式子求出y关于x的函数解析式，
（3）分两种情况：①当点F在线段BC上时，②当点F在CB延长线上时，求得线段AD的长为 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ．
点评：本题主要考查了三角函数的应用，用到了分类讨论的思想，是一道综合题难度大．