Question

在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A₁，作正方形A₁B₁C₁C；延长C₁B₁交x轴于点A₂，作正方形A₂B₂C₂C₁…按这样的规律进行下去，第2010个正方形的面积为（　　）

• A、5(

  3

  2

  )2009
• B、5(

  9

  4

  )2010
• C、5(

  9

  4

  )2008
• D、5(

  3

  2

  )4018

Answer 1

分析：根据相似三角形的判定原理，得出△AA₁B∽△A₁A₂B₁，继而得知∠BAA₁=∠B₁A₁A₂；利用勾股定理计算出正方形的边长；最后利用正方形的面积公式计算三个正方形的面积，从中找出规律，问题也就迎刃而解了．

解答：
解：设正方形的面积分别为S₁，S₂…S₂₀₁₀，
根据题意，得：AD∥BC∥C₁A₂∥C₂B₂，
∴∠BAA₁=∠B₁A₁A₂=∠B₂A₂x（同位角相等）．
∵∠ABA₁=∠A₁B₁A₂=90°，
∴△BAA₁∽△B₁A₁A₂，
在直角△ADO中，根据勾股定理，得：AD=

5

，
cot∠DAO=

OA

OD

=

1

2

，
∵tan∠BAA₁=

BA1

AB

=cot∠DAO，
∴BA₁=

1

2

AB=

5

2

，
∴CA₁=

5

+

5

2

=

5

×(1+

1

2

)，
同理，得：C₁A₂=

5

×(1+

1

2

)×(1+

1

2

)，
由正方形的面积公式，得：S₁=(

5

)2，
S₂=(

5

)2×(1+

1

2

)2，S₃=(

5

)2×(1+

1

2

)2×(1+

1

2

)2，
由此，可得S_n=(

5

)2×（1+

1

2

）^2n-2，
∴S₂₀₁₀=5×（

3

2

）^2×2010-2，
=5×（

3

2

）⁴⁰¹⁸．
故选D

点评：本题综合考查了相似三角形的判定、勾股定理、正方形的性质等知识点，另外，在解题过程中，要认真挖掘题中隐藏的规律，这样可以降低解题的难度，提高解题效率．