Question

如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，且AD+BC=AB，AB为⊙O的直径，求证：⊙O与CD相切．

Answer 1

分析：过点O作OE⊥DC于E点，由于AD∥BC，∠C=90°，则AD∥OE∥BC，而点O为AB的中点，所以OE为梯形ABCD的中位线，则OE=

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（AD+BC），即AD+BC=2OE，由于AD+BC=AB，
所以AB=2OE，于是OE为⊙O的半径，然后根据切线的判定定理即可得到结论．

解答：证明：过点O作OE⊥DC于E点，如，
∵AD∥BC，∠C=90°，
∴AD∥OE∥BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴OA=OB，
∴OE为梯形ABCD的中位线，
∴OE=

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2

（AD+BC），即AD+BC=2OE，
∵AD+BC=AB，
∴AB=2OE，
∴OE为⊙O的半径，
∴⊙O与CD相切．

点评：本题考查了切线的判定：过半径的外端点与半径垂直的性质为圆的切线．也考查了梯形的性质以及梯形中位线性质．