题目内容
如图，在Rt△ABC中，已知∠ABC=90°，BC=8，以AB为直径作⊙O，连接OC，过点C作⊙O的切线CD，D为切点，连接OD．（1）求证：△OBC≌△ODC；
（2）若sin∠OCD=
| 3 | 5 |
分析：（1）切线的定义得出OD⊥CD，及∠ABC=90°，HL证明△OBC≌△ODC；
（2）根据切线的性质得及勾股定理求出OB的长，从而得出直径AB的长．
（2）根据切线的性质得及勾股定理求出OB的长，从而得出直径AB的长．
解答：（1）证明：∵∠ABC=90°，AB为⊙O的直径，
又∵CD为⊙O的切线，D为切点，
∴OD⊥CD．
∵OC=OC，OD=OB，
∴△OBC≌△ODC．（4分）
（2）解：∵△OBC≌△ODC，
∴∠OCD=∠OCB． （5分）
又∵sin∠OCD=
，
∴sin∠OCB=
．
即
=
（6分）
设OB=3k，OC=5k，
∵OB2+BC2=OC2
∴（3k）2+82=（5k）2（7分）
∴k=2． （9分）
∴直径AB=2OB=2•3k=12． （10分）
又∵CD为⊙O的切线，D为切点，
∴OD⊥CD．
∵OC=OC，OD=OB，
∴△OBC≌△ODC．（4分）
（2）解：∵△OBC≌△ODC，
∴∠OCD=∠OCB． （5分）
又∵sin∠OCD=
| 3 |
| 5 |
∴sin∠OCB=
| 3 |
| 5 |
即
| OB |
| OC |
| 3 |
| 5 |
设OB=3k，OC=5k，
∵OB2+BC2=OC2
∴（3k）2+82=（5k）2（7分）
∴k=2． （9分）
∴直径AB=2OB=2•3k=12． （10分）
点评：本题综合考查了切线的定义和性质，三角形全等的判定及勾股定理．
练习册系列答案
相关题目
（2013•莆田质检）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E是AB上一点，以AE为直径的⊙O过点D，且交AC于点F．
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，AD和BD分别是∠BAC和∠ABC的平分线，它们相交于点D，求点D到BC的距离．
边上移动，使这个30°角的两边分别与△ABC的边AC、BC相交于点E、F，且使DE始终与AB垂直．
如图，在Rt△ABC中，BD⊥AC，sinA=
点P与点A不重合时，过点P作PQ⊥AC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点M落在线段AC上．设点P的运动时间为t（s）．