Question

在△ABC中，AB=

3

，AC=

2

，BC=1．
（1）求证：∠A≠30°；
（2）将△ABC绕BC所在直线旋转一周，求所得几何体的表面积．

Answer 1

分析：（1）根据勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形，且∠C=90°，利用三角函数计算出sinA，然后与sin30°进行比较即可判断∠A≠30°；
（2）将△ABC绕BC所在直线旋转一周，所得的几何体为圆锥，圆锥的底面圆的半径为AC，母线长为AB，所得几何体的表面积分为底面积和侧面积，分别根据圆的面积公式和扇形的面积公式进行计算即可．

解答：证明：（1）∵BC²+AC²=1+2=3=AB²，
∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°．
∵sinA=

BC

AB

=

1

3

＞

1

2

=sin30°，
∴∠A≠30°．

（2）将△ABC绕BC所在直线旋转一周，所得的几何体为圆锥，
∴圆锥的底面圆的半径=

2

，
∴圆锥的底面圆的周长=2π•

2

=2

2

π；母线长为

3

，
∴几何体的表面积

2

×

3

π+π×（

2

）²=

6

π+2π．

点评：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，它的弧长为圆锥的底面圆的周长，扇形的半径为母线长，圆锥的侧面积=扇形的面积=

1

2

l•R（l为弧长，R为扇形的半径）；也考查了勾股定理的逆定理以及特殊角的三角函数值．