Question

在△ABC中，∠Ａ＝90°，AB＝４，AC=3，M是AB上的动点（不与A、B重合），过点M作MN∥BC交AC于点N. 以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN，令AM=x.

(1) 当x为何值时，⊙O与直线BC相切？

（2）在动点M的运动过程中，记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y与x间函数关系式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？

　

Answer 1

（1）如图，设直线BC与⊙O相切于点D，连接OA、OD，则OA=OD=MN

在Rt⊿ABC中，BC==5

∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM=∠C

⊿AMN∽⊿ABC，∴，，

∴MN=x, ∴OD=x

过点M作MQ⊥BC于Q，则MQ=OD=x，

在Rt⊿BMQ和Rt⊿BCA中，∠B是公共角

∴Rt⊿BMQ∽Rt⊿BCA，

∴，∴BM==x，AB=BM+MA=x +x=4,∴x=

∴当x=时，⊙O与直线BC相切，

（3）随着点M的运动，当点P 落在BC上时，连接AP，则点O为AP的中点。

∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠AOM=∠APC

∴⊿AMO∽⊿ABP，∴=，AM=BM=2

故以下分两种情况讨论：

①     当0＜x≤2时，y=S_⊿PMN=x².

∴当x=2时,y_最大=×2²=

②     当2＜x＜4时，设PM、PN分别交BC于E、F

 ∵四边形AMPN是矩形，

∴PN∥AM，PN=AM=x

又∵MN∥BC，∴四边形MBFN是平行四边形

∴FN=BM=4－x，∴PF=x－（4－x）=2x－4，

又⊿PEF∽⊿ACB，∴（）²=

∴S_⊿PEF=（x－2）²,y= S_⊿PMN－ S_⊿PEF=x－（x－2）²=－x²+6x－6

当2＜x＜4时，y=－x²+6x－6=－（x－）²+2

∴当x=时，满足2＜x＜4，y_最大=2。

综合上述，当x=时，y值最大，y_最大=2。