Question

如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，以AB为直径的⊙O经过点C.过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P.点D为圆上一点，且 BC=CD，弦AD的延长线交切线PC于点E，连接BC．

（1）判断OB和BP的数量关系,并说明理由；

（2）若⊙O的半径为2，求AE的长．

Answer 1

 21.解:（1）OB=BP     ……………………1′

   理由:

连接OC, ∵PC切⊙O于点C  ………………2′

   ∴∠OCP=90^o

∵OA=OC，∠OAC=30 ^o

∴∠OAC=∠OCA=30 ^o         ………………3′

   ∴∠COP=60 ^o

第21题图

∴∠P=30 ^o  …………………………………………4′

在Rt△OCP中

OC=OP=OB=BP    ……………………………………………5′

（2）由（1）得OB=OP

∵⊙O的半径是2         

⌒

⌒

∴AP=3OB=3×2=6                    …………………………6′

∵BC=CD

∴∠CAD=∠BAC=30 ^o                  …………………………………7′

∴∠BAD=60 ^o                        ……………………………………8′

∵∠P=30 ^o

∴∠E=90^o                               …………………………………9′

在Rt△AEP中

AE=AP=                    ………………………10′