Question

如图，先把一矩形ABCD纸片对折，设折痕为MN，再把点B叠在折痕线上，得到△ABE．过点B折纸片，使折痕PQ⊥MN于B．
（1）求证：△BEP∽△ABQ；
（2）求证：BE²=AE•PE；
（3）如果沿直线EB折叠纸片，点A是否能叠在直线EC上？请简单说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵∠PBE+∠ABQ=180°-90°=90°，∠PBE+∠PEB=90°，
∴∠ABQ=∠PEB．
又∵∠BPE=∠AQB=90°，
∴△PBE∽△QAB．

（2）证明：∵△PBE∽△QAB，
∴．
∵由折叠可知BQ=PB．
∴，即=．
又∵∠ABE=∠BPE=90°，
∴△PBE∽△BAE，
∴=，
即BE²=AE•PE；

（3）解：点A能叠在直线EC上．理由如下：
∵△PBE∽△BAE，
∴∠AEB=∠PEB，
则沿EB所在的直线折叠，点A能折叠到直线EC上．
分析：（1）通过证明∠ABQ=∠PEB，∠BPE=∠AQB=90°，得出：△BEP∽△ABQ；
（2）证明，即，∠ABE=∠BPE=90°，得出△PBE∽△BAE从而问题得证；
（3）由∠AEB=∠CEB可知A能叠在直线EC上．
点评：本题考查了相似三角形的判定和性质．掌握图形的变化中翻折变换（折叠问题）的特点是解决问题的关键．