Question

【题目】在平面直角坐标系中，抛物线过点，，与y轴交于点C，连接AC，BC，将沿BC所在的直线翻折，得到，连接OD．

（1）用含a的代数式表示点C的坐标．

（2）如图1，若点D落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方，求抛物线的解析式．

（3）设的面积为S1，的面积为S2，若，求a的值．

Answer 1

【答案】（1）；

(2) 抛物线的表达式为：；

(3) 或

【解析】

（1）根据待定系数法，得到抛物线的表达式为：，即可求解；

（2）根据相似三角形的判定证明，再根据相似三角形的性质得到，即可求解；

（3）连接OD交BC于点H，过点H、D分别作x轴的垂线交于点N、M，由三角形的面积公式得到，，，而，即可求解．

（1）抛物线的表达式为：，即，则点；

（2）过点B作y轴的平行线BQ，过点D作x轴的平行线交y轴于点P、交BQ于点Q，

∵，，

∴，

设：，点，

，

∴，

∴，

其中：，，，，，，

将以上数值代入比例式并解得：，

∵，故，

故抛物线的表达式为：；

（3）如图2，当点C在x轴上方时，连接OD交BC于点H，则，

过点H、D分别作x轴的垂线交于点N、M，

设：，

，

，而，

则，，

∴，则，

则，，

则，则，

则，

解得：（舍去负值），

，

解得：（不合题意值已舍去），

故：．当点C在x轴下方时，同理可得：；故：或