Question

如图1，在平面直角坐标系中，直线l：沿x轴翻折后，与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线与y轴交于点D，与直线AB交于点E、点F（点F在点E的右侧）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若线段DF∥x轴，求抛物线的解析式；
（3）如图2，在（2）的条件下，过F作FH⊥x轴于点G，与直线l交于点H，在抛物线上是否存在P、Q两点（点P在点Q的上方），PQ与AF交于点M，与FH交于点N，使得直线PQ既平分△AFH的周长，又平分△AFH面积，如果存在，求出P、Q的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）解：设直线AB的解析式为y=kx+b
直线 与x轴、y轴交点分别为（-2，0），（0， ），
沿x轴翻折，
∵直线，
直线AB与x轴交于同一点（-2，0）
∴A（-2，0）．与y轴的交点（0， ）与点B关于x轴对称
∴B（0， ），
∴
解得，，
∴直线AB的解析式为 ．
答：直线AB的解析式为 ．

（2）解：设抛物线的顶点为Q（h，0），
抛物线解析式为：=，
∴D（0， ）．
∵DF∥x轴，
∴点F（2h， ），
又点F在直线AB上，∴，
解得 h₁=3，（舍去），
∴抛物线的解析式为，
答：抛物线的解析式为y=x²-4x+6．

（3）解：过M作MT⊥FH于T，
∴Rt△MTF∽Rt△AGF．
∴FT：TM：FM=FG：GA：FA=3：4：5，
设FT=3k，TM=4k，FM=5k，
则FN=-FM=16-5k，
∴，
∵=48，
又∵．
∴，
解得 或k=2 （舍去），
∴FM=6，FT=，MT=，GN=4，TG=，
∴M（， ）、N（6，-4），
∴设直线MN的解析式为：y=kx+b，
把M（， ）、N（6，-4），代入得：=k+b且-4=6k+b，
解得：k=-，b=4，
∴，
联立 与，
求得P（1， ），Q（3，0）．
答：存在P的坐标是（1，），Q的坐标是（3，0）．
分析：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，先求出直线 与x轴、y轴交点坐标，根据沿x轴翻折，得到A、B的坐标，把A、B的坐标代入直线AB的解析式y=kx+b，即可求出直线AB的解析式；
（2）设抛物线的顶点为P（h，0），得出抛物线解析式为：=，根据DF∥x轴，得出F的坐标，把F的坐标代入直线AB的解析式即可求出h的值，即可得到答案；
（3）过M作MT⊥FH于T，得到Rt△MTF∽Rt△AGF，得到FT：TM：FM=FG：GA：FA=3：4：5，设FT=3k，TM=4k，FM=5k，求出FN的值，根据三角形的面积公式求出△MNF和△AFH的面积，根据之间的等量关系即可求出k的值，设直线MN的解析式为：y=kx+b，
把M（， ）、N（6，-4），代入得到方程组，求出方程组的解即可得到直线MN的解析式，解由方程y=-x+4和y=x²-4x+6的解即可得出P、Q的坐标．
点评：本题主要考查对用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，解二元一次方程组、解二元二次方程组，三角形相似的性质和判定，图形的旋转等知识点，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，此题是一个拔高的题目，有一定的难度．