Question

由于工程设计的需要，希望确定一条抛物线y=ax²+bx+4，它必须满足下列要求：这条抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且∠ACB=∠ABC，AB=5．试问：是否存在满足要求的抛物线？若存在，请求出它的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：首先根据抛物线y=ax²+bx+4与与y轴交于C点，确定C点的坐标值，并设A、B点的坐标分别为（x₁，0）和（x₂，0）．
根据坐标值求得线段AB、AC的长度，再利用等腰三角形的性质，得到AC=AB，从而解得x₁、x₂的值，A、B点的坐标值即可确定．再就A、B点坐标的取值讨论具体的解析式．

解答：解：∵这条抛物线y=ax²+bx+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点
∴C点的坐标是（0，4），设A、B点的坐标分别为（x₁，0）和（x₂，0）
∴|AC|=

(x1-0)2+(0 -4)2

=

x12+16

，|AB|=

(x2-x1)2

=|x2-x1|
∵∠ACB=∠ABC
∴AC=AB，即

x12+16

=|x2-x1|=5
∴x₁=±3
①当x₁=3，x₂=8时，此时抛物线解析式为y=

1

6

x2 -

11

6

x+4
②当x₁=3，x₂=-2时，此时抛物线解析式为y=-

2

3

x2+

2

3

x+4
③当x₁=-3，当x₂=2时，此时抛物线解析式为y=

2

3

x2+

10

3

x+4
④当x₁=-3，当x₂=-8时，此时抛物线解析式为y=

1

6

x2 +

11

6

x+4
答：存在满足要求的抛物线，这个抛物线解析式y=

1

6

x2 -

11

6

x+4或y=-

2

3

x2+

2

3

x+4或y=

2

3

x2+

10

3

x+4或y=

1

6

x2 +

11

6

x+4

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有利用待定系数法求抛物线的解析式和等腰三角形的性质．在确定抛物线解析式时要注意分析题意分情况讨论结果．