题目内容

如图，抛物线 $数学公式$ 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）求点A、点C的坐标；
（2）求点O到AC的距离；
（3）若点P为抛物线上一点，以2为半径作⊙P，当⊙P与直线AC相切时，求点P的横坐标．

解：（1）令y=0，则 $\text{[math]}$ （x²+3x-4）=0，
整理得，x²+3x-4=0，
解得x₁=1，x₂=-4，
所以，点A的坐标为（-4，0），
令x=0，则y=-4× $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ，
所以，点C的坐标为（0，- $\text{[math]}$ ）；

（2）∵点A（-4，0），C（0，- $\text{[math]}$ ），
∴OA=4，OC= $\text{[math]}$ ，
根据勾股定理得，AC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
设点O到AC的距离为h，
则S_△AOC= $\text{[math]}$ OA•OC= $\text{[math]}$ AC•h，
即 $\text{[math]}$ ×4× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ h，
解得h=2，
所以，点O到AC的距离为2；

（3）设直线AC的解析式为y=kx+b，
∵直线经过点A（-4，0），C（0，- $\text{[math]}$ ），
∴ $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
∴直线AC的解析式为y=- $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ ，
∵点O到AC的距离为2，
∴点P在过点O与AC平行的直线y=- $\text{[math]}$ x上，
联立 $\text{[math]}$ ，
消掉未知数y得， $\text{[math]}$ （x²+3x-4）=- $\text{[math]}$ x，
整理得，x²+4x-4=0，
解得x₁=-2-2 $\text{[math]}$ ，x₂=-2+2 $\text{[math]}$ ，
所以，点P的横坐标为：-2-2 $\text{[math]}$ 或-2+2 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）令y=0，解关于x的一元二次方程，即可得到点A的坐标，令x=0，求出y的值，即可得到点C的坐标；
（2）利用勾股定理列式求出AC的长度，再根据△AOC的面积，列式求解即可得到点O到AC的距离；
（3）利用待定系数法求出直线AC的解析式，再根据点O到AC的距离为2可知点P在过点O与AC平行的直线上，求出直线PO的解析式，再与抛物线解析式联立消掉y，解关于x的一元二次方程即可得到点P的横坐标．
点评：本题考查了二次函数综合题型，主要利用了抛物线与坐标轴的交点的求解，待定系数法求一次函数解析式，勾股定理的应用，三角形的面积，联立两函数解析式求交点坐标，（3）判断出点P在过点O与AC平行的直线上是解题的关键．