Question

已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90，点E为AB上一点，且CE⊥DE，CB、DE的延长线交于点F．
（1）求证：；
（2）已知EF=5，FB=3，求BC的长．

Answer 1

（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠EFB；
又∵∠AED=∠BEF（对顶角相等），CE⊥DE，
∴∠FEB+∠BEC=∠AED+∠ADE=90°，
∴∠ADE=∠BEC；
在△ADE和△BEC中，
∠ADE=∠BEC，
∠A=∠ABC=90°，
∴△ADE∽△BEC，
∴；

（2）解：∵CE⊥DE，AB⊥FC，
∴∠FEB+∠BEC=∠F+∠FEB=90°，
∴∠F=∠BEC；
在△EFB和△CFE中，
∠F=∠BEC，
∠EBF=∠CEF=90°，
∴△EFB∽△CFE；
而EF=5，FB=3，
∴
∴3CF=25，
∴CF=，
∴BC=FC-FB=-3=．
分析：（1）先证△ADE∽△BEC，然后由相似三角形的对应边成比例证得；
（2）先证得△EFB∽△CFE，然后由相似三角形的对应边成比例求得CF=，所以由BC=FC-FB来求BC的长度即可．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质．在求相似三角形中的线段的长度时，利用了相似三角形的对应边成比例的性质．