Question

【题目】综合与实践

正方形内“奇妙点”及性质探究

定义：如图1，在正方形中，以为直径作半圆，以为圆心，为半径作，与半圆交于点.我们称点为正方形的一个“奇妙点”．过奇妙点的多条线段与正方形无论是位置关系还是数量关系，都具有不少优美的性质值得探究．

性质探究：如图2，连接并延长交于点，则为半圆的切线．

证明：连接．

由作图可知，，

又．

，∴是半圆的切线．

问题解决：

（1）如图3，在图2的基础上，连接.请判断和的数量关系，并说明理由；

（2）在（1）的条件下，请直接写出线段之间的数量关系；

（3）如图4，已知点为正方形的一个“奇妙点”，点为的中点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，请写出和的数量关系，并说明理由；

（4）如图5，已知点为正方形的四个“奇妙点”．连接，恰好得到一个特殊的“赵爽弦图”．请根据图形，探究并直接写出一个不全等的几何图形面积之间的数量关系．

Answer 1

【答案】（1），理由见解析；（2）；（3），理由见解析；（4）答案不唯一，如：的面积等于正方形的面积；正方形的面积等于正方形面积的等．

【解析】

（1）先提出猜想，在图2以及上面结论的基础上，根据全等三角形的性质、四边形的内角和、邻补角的性质可得出，再由边边边定理可证得，然后利用全等三角形的性质、等式性质可得证结论；

（2）由（1）可知、，根据全等三角形的性质、线段的和差即可得到结论；

（3）先提出猜想，添加辅助线构造出直角三角形，由（1）可知，则其正切值相等，再根据正方形的性质即可得证结论；

（4）根据前面的结论结合赵爽弦图可证得

，即可提出猜想．

解：（1）结论：

理由如下：

∵

∴，，

∴

∵

∴

在和中

∵，

∴

∴

∵

∴；

（2）∵由（1）可知，、

∴，

∵

∴

∴线段、、之间的数量关系是；

（3）结论：

理由：连接、，如图：

由（1）可知，

∵

∴

∵点为的中点

∴

∴

∵四边形是正方形

∴

∴；

（4）延长交于点，连接、，如图：

∵由前面的结论可知

∴

∵此图为赵爽弦图即

∴

同理可得、、

∵四边形是正方形

∴

∴

∴在和中，

∴

∴

∴

∴

∴答案不唯一，例如，的面积等于正方形的面积；正方形的面积等于正方形面积的等等．