Question

如图，AB、CD是⊙O的直径，AB=4，点E在AB的延长线上，EF⊥AB，EF=EB=

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CD，FE、CD的延长线交于点G，DG=EG，连结FD．
（1）求DG的长．
（2）试说明DF是⊙O的切线．

Answer 1

考点：切线的判定,勾股定理

专题：几何图形问题,数形结合,方程思想

分析：（1）首先设DG=x，则DG=EG=x，即可求得EF=EB=2，OG=2+x，然后在Rt△OEG中，4+x²=（x+2）²，求得答案；
（2）易证得△FDG≌△OEG，则可得∠ODF=∠GDF=90°，即可证得DF是⊙O的切线．

解答：（1）解：设DG=x，则DG=EG=x，
∵AB、CD是⊙O的直径，AB=4，
∴EF=EB=

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CD=2，
∴OG=OD+DG=x+2，
∵EF⊥AB，
∴在Rt△OEG中，4²+x²=（x+2）²，
解得：x=3，
即DG=3；

（2）证明：∵DG=EG，OD=EF，
∴OG=FG，
在△FDG和△OEG中，

OG=FG ∠G=∠G DG=EG

，
∴△FDG≌△OEG（SAS），
∴∠FDG=∠OEG，
∵∠OEG=90°，
∴∠FDG=90°，
即OD⊥DF，
又∵DF经过半径OD的外端，
∴DF是⊙O的切线．

点评：此题考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．