Question

某校九年级学生开展了丰富多彩的数学课题学习活动．在探讨《美丽的正六边形》课题学习时，发现正六边形可以分成八个全等的直角梯形（如图1），也可以分成八个全等的等腰梯形（如图2），则直角梯形的最短边与等腰梯形的最短边的比值是

 

．

Answer 1

分析：根据题意作出辅助线，如图1所示，作AD⊥BF，GE⊥BF；设AB=a，再根据正六边形的性质求出∠ABD的度数，由特殊角的三角函数值可求出BD的长，进而可求出AH的长；
如图2所示，作AD⊥BD，EF⊥AH；设AB=a，再根据正六边形的性质求出∠ABD的度数，由特殊角的三角函数值可求出AD的长，进而可求出EF的长及AE的长．即可求出其比值．

解答：解：如图1所示，作AD⊥BF，GE⊥BF，设AB=a；
∵此六边形是正六边形，
∴∠ABC=

180°×(6-2)

6

=120°，∠ABD=

120°

2

=60°；
∵AD⊥BF，
∴BD=

a

2

，正六边形的对角线长为2a，
∴AH=

2a- a 2 ×3

4

=

a

8

；
如图2所示，作AD⊥BD，EF⊥AE，设AB=a，由1可知，BD=

a

2

，AD=

3 a

2

，则EF=

1

2

AD=

3 a

4

，
在△AEF中，∠EAF=

∠BAE

2

=60°，∠AFE=30°，
∴AE=EF•tan30°=

3 a

4

×

3

3

=

a

4

，
∴EH=GF=a-

a

4

×2=

a

2

．
∴直角梯形的最短边与等腰梯形的最短边的比值是AH：EH=

a

8

：

a

2

=

1

4

．

点评：解答此题的关键是根据题意画出图形，再由正六边形及直角三角形的性质求解即可，此题有一定的综合性，但难度适中．