题目内容
14、如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角∠NDM，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．试探究BM、MN、CN之间的数量关系，并加以证明．分析：延长AC至E，使CE=BM，连接DE，将BM，CN放在一条直线上，利用已知证明△DCE≌△BMD，再证出△DMN≌△DEN，从而得出答案．
解答：
证明：BM+CN=NM延长AC至E，使CE=BM，连接DE，
∵△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，△ABC是等边三角形，
∴∠BCD=30°，
∴∠ABD=∠ACD=90°，
∵DB=DC，CE=BM，
∴△DCE≌△BMD，
∴∠BDM=∠CDE，
又∵∠BDC=120°，∠MDN=60°，
∴∠BDM+∠NDC=∠BDC-∠MDN=60°，
∴∠CDE+∠NDC=60°，即∠NDE=60°，
∵∠MDN=∠NDE=60°
∴DM=DE（上面已经全等）
∴DN=ND（公共边）
∴△DMN≌△DEN∴BM+CN=NM．
证明：BM+CN=NM延长AC至E，使CE=BM，连接DE，∵△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，△ABC是等边三角形，
∴∠BCD=30°，
∴∠ABD=∠ACD=90°，
∵DB=DC，CE=BM，
∴△DCE≌△BMD，
∴∠BDM=∠CDE，
又∵∠BDC=120°，∠MDN=60°，
∴∠BDM+∠NDC=∠BDC-∠MDN=60°，
∴∠CDE+∠NDC=60°，即∠NDE=60°，
∵∠MDN=∠NDE=60°
∴DM=DE（上面已经全等）
∴DN=ND（公共边）
∴△DMN≌△DEN∴BM+CN=NM．
点评：此题主要考查了等腰三角形与等边三角形的性质，做出CE=BM，连接DE，将BM，CN放在一条直线上之是解决问题的关键．
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