Question

如图，某校九年级3班的一个学习小组进行测量小山高度的实践活动．部分同学在山脚点A测得山腰上一点D的仰角为30°，并测得AD的长度为180米；另一部分同学在山顶点B测得山脚点A的俯角为45°，山腰点D的俯角为60度．请你帮助他们计算出小山的高度BC．（计算过程和结果都不取近似值）

Answer 1

分析：首先根据题意分析图形；过点D作DE⊥AC于点E，作DF⊥BC于点F；构造本题涉及到的两个直角三角形，根据图形分别求解可得DE与BF的值，再利用BC=DE+BF，进而可求出答案．

解答：解：如图，过点D作DE⊥AC于点E，作DF⊥BC于点F，
则有DE∥FC，DF∥EC．
∵∠DEC=90°，
∴四边形DECF是矩形，
∴DE=FC．
∵∠HBA=∠BAC=45°，
∴∠BAD=∠BAC-∠DAE=45°-30°=15度．
又∵∠ABD=∠HBD-∠HBA=60°-45°=15°，
∴△ADB是等腰三角形．∴AD=BD=180（米）．
在Rt△AED中，sin∠DAE=sin30°=

DE

AD

，
∴DE=180•sin30°=180×

1

2

=90（米），∴FC=90米．
在Rt△BDF中，∠BDF=∠HBD=60°，sin∠BDF=sin60°=

BF

BD

，
∴BF=180•sin60°=180×

3

2

=90

3

（米）．
∴BC=BF+FC=90

3

+90=90（

3

+1）（米）．
答：小山的高度BC为90（

3

+1）米．

点评：本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．