Question

如图，⊙O中，FG、AC是直径，AB是弦，FG⊥AB，垂足为点P，过点C的直线交AB的延长线于点D，交GF的延长线于点E，已知AB＝4，⊙O的半径为．

（1）分别求出线段AP、CB的长；

（2）如果OE＝5，求证：DE是⊙O的切线；

（3）如果tan∠E＝，求DE的长．

Answer 1

（1）解：∵AC为直径，  ∴∠ABC＝90°，

在Rt△ABC中，AC＝2，AB＝4，

∴BC＝＝2，∵直径FG⊥AB， ∴AP＝BP＝AB＝2；…………3分

（2）证明：∵AP＝BP，∴OP为△ABC的中位线，∴OP＝BC＝1，∴＝，

而＝＝，∴＝，

∵∠EOC＝∠AOP，∴△EOC∽△AOP，

∴∠OCE＝∠OPA＝90°，∴OC⊥DE，∴DE是⊙O的切线；…………3分

（3）解：∵BC∥EP，∴∠DCB＝∠E，∴tan∠DCB＝tan∠E＝

在Rt△BCD中，BC＝2，tan∠DCB＝＝，

∴BD＝3，∴CD＝＝，

∵BC∥EP，∴＝，即＝，∴DE＝  _{……………4分}