题目内容

如图1，在△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3．M是边AB上的动点（M不与A，B重合），MN∥BC交AC于点N，△AMN关于MN的对称图形是△PMN．设AM=x．
（1）用含x的式子表示△AMN的面积（不必写出过程）；
（2）当x为何值时，点P恰好落在边BC上；
（3）在动点M的运动过程中，记△PMN与梯形MBCN重叠部分的面积为y，试求y关于x的函数关系式；并求x为何值时，重叠部分的面积最大，最大面积是多少？
（1）S△AMN=
3
8
x2（3）；

（2）如图2，由轴对称性质知：AM=PM，∠AMN=∠PMN，（4分）
又MN∥BC，∴∠PMN=∠BPM，∠AMN=∠B，（5）
∴∠B=∠BPM∴AM=PM=BM（6分）
∴点M是AB中点，即当x=
1
2
AB=2时，点P恰好落在边BC上．（7分）

（3）（i）以下分两种情况讨论：
①当0＜x≤2时，易见y=
3
8
x2（8分）
②当2＜x＜4时，如图3，设PM，PN分别交BC于E，F
由（2）知ME=MB=4-x，
∴PE=PM-ME=x-（4-x）=2x-4
由题意知△PEF∽△ABC，
∴(
PE
AB
)2=
S△PEF
S△ABC
，
∴S△PEF=
3
2
(x-2)2
∴y=S△PMN-S△PEF=
3
8
x2-
3
2
(x-2)2=-
9
8
x2+6x-6
∴y=
3
8
x2(0＜x≤2)
-
9
8
x2+6x-6(2＜x＜4)

（ii）∵当0＜x≤2时，y=
3
8
x2
∴易知y最大=
3
8
×22=
3
2
（11分）
又∵当2＜x＜4时，y=-
9
8
x2+6x-6=-
9
8
（x-
8
3
）2+2．
∴当x=
8
3
时（符合2＜x＜4），y最大=2，（12分）
综上所述，当x=
8
3
时，重叠部分的面积最大，其值为2．（13分）
练习册系列答案
相关题目
已知：如图一次函数y=
1
2
x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数y=
1
2
x2+bx+c的图象与一次函数y=
1
2
x+1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为（1，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求四边形BDEC的面积S；
（3）在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由．
抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点A（1，-3），B（3，-3），C（-1，5），顶点为M点．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）试判断抛物线上是否存在一点P，使∠POM=90°．若不存在，说明理由；若存在，求出P点的坐标．
（3）试判断抛物线上是否存在一点K，使∠OMK=90°，若不存在，说明理由；若存在，求出K点的坐标．
如图1，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OMN的斜边ON在x轴上，顶点M的坐标为（3，3），MH为斜边上的高．抛物线C：y=-
1
4
x2+nx与直线y=
1
2
x及过N点垂直于x轴的直线交于点D．点P（m，0）是x轴上一动点，过点P作y轴的平行线，交射线OM于点E．设以M、E、H、N为顶点的四边形的面积为S．
（1）直接写出点D的坐标及n的值；
（2）判断抛物线C的顶点是否在直线OM上？并说明理由；
（3）当m≠3时，求S与m的函数关系式；
（4）如图2，设直线PE交射线OD于R，交抛物线C于点Q，以RQ为一边，在RQ的右侧作矩形RQFG，其中RG=
3
2
，直接写出矩形RQFG与等腰直角三角形OMN重叠部分为轴对称图形时m的取值范围．
已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=-2x2+bx+c的图象经过点A（-3，0）和点B（0，6）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）将这个二次函数的图象向右平移5个单位后的顶点设为C，直线BC与x轴相交于点D，求∠ABD的正弦值；
（3）在第（2）小题的条件下，联结OC，试探究直线AB与OC的位置关系，并说明理由．
已知平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别是（0，2）、（0，-2），（4，-2）．
（1）请在给出的直角坐标系xOy中画出△ABC，设AC交X轴于点D，连接BD，证明：OD平分∠ADB；
（2）请在x轴上找出点E，使四边形AOCE为平行四边形，写出E点坐标，并证明四边形AOCE是平行四边形；
（3）设经过点B，且以CE所在直线为对称轴的抛物线的顶点为F，求直线FA的解析式．
已知抛物线y=-x2+bx+c的图象经过点A（m，0）、B（0，n），其中m、n是方程x2-6x+5=0的两个实数根，且m＜n．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，求C、D点的坐标和△BCD的面积；
（3）P是线段OC上一点，过点P作PH⊥x轴，交抛物线于点H，若直线BC把△PCH分成面积相等的两部分，求P点的坐标．
如图，直线AB、CD分别经过点（0，1）和（0，2）且平行于x轴，图1中射线OA为正比例函数y=kx（k＞0）在第一象限的部分图象，射线OB与OA关于y轴对称；图2为二次函数y=ax2（a＞0）的图象．
（1）如图l，求证：
AB
CD
=
1
2
；
（2）如图2，探索：
AB
CD
的值．
已知，如图，在直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC所在直线解析式为y=-
3
3
x+1．
（1）在x轴上存在这样的点M，使AMB为等腰三角形，求出所有符合要求的点M的坐标；
（2）动点P从点C开始在线段CO上以每秒
3
个单位长度的速度向点O移动，同时，动点Q从点O开始在线段OA上以每秒1个单位长度的速度向点A移动．设P、Q移动的时间为t秒．
①是否存在这样的时刻2，使△OPQ与△BCP相似，并说明理由；
②设△BPQ的面积为S，求S与t间的函数关系式，并求出t为何值时，S有最小值．

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