Question

如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，过C作CE∥AD交AB于E．

（1）求证：四边形AECD是菱形；

（2）若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．

 

Answer 1

（1）∵AB∥CD， CE∥AD，∴四边形AECD是平行四边形．

        ∵CE∥AD，∴∠ACE＝∠CAD．

∵AC平分∠BAD，∴∠CAE＝∠CAD．∴∠ACE＝∠CAE，∴AE＝CE．

        ∴四边形AECD是菱形．

（2）（判断）△ABC是直角三角形．

（3）证法一：∵AE＝CE，AE＝BE，∴BE＝CE，∴∠B＝∠BCE，  

     ∵∠B＋∠BCA＋∠BAC＝180º，

∴2∠BCE＋2∠ACE＝180º，∴∠BCE＋∠ACE＝90º，即∠ACB＝90º．

∴△ABC是直角三角形．

证法二：连DE，则DE⊥AC，且DE平分AC．

设DE交AC于F．又∵E是AB的中点，∴EF∥BC，

∴BC⊥AC，∴△ABC是直角三角形．