题目内容

如图，?ABCD中，AB=4，BC=3，∠BAD=120°，动点E在BC上（不与B重合）．作EF⊥AB于F，FE、DC的延长线交于点G．设BE=x，△DEF的面积为S．
（1）求S关于x的函数表达式，并写出x的取值范围；
（2）当点E在何处时，S有最大值，最大值为多少？

解：（1）在?ABCD中，AB∥CD，
∵EF⊥AB，
∴EF⊥DC，
∴DG为△DEF边EF上的高，
在Rt△BFE中，∠B=180°-∠BAD=180°-120°=60°，
EF=BEsinB= $\text{[math]}$ x，
在Rt△CEG中，CE=3-x，CG=（3-x）cos60°= $\text{[math]}$ ，
∴DG=DC+CG=4+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴S= $\text{[math]}$ EF•DG= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ x× $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x，
其中0＜x≤3；

（2）∵a=- $\text{[math]}$ ＜0，对称轴为x=- $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴当0＜x≤3时，S随x的增大而增大，
∴当x=3，即E与C重合时，S有最大值，
S_最大=- $\text{[math]}$ ×9+ $\text{[math]}$ ×3=3 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据平行四边形的对边平行判断出DG是△DEF的EF边上的高，再根据平行四边形的邻角互补求出∠B=60°，然后解直角三角形求出EF的长，用x表示出CE，解直角三角形求出CG再根据平行四边形对边相等可得CD=AB=4，然后表示出DG，根据三角形的面积公式列式整理即可得解；
（2）根据二次函数的最值问题以及增减性解答．
点评：本题考查了平行四边形的对边平行的性质，解直角三角形，三角形的面积公式，利用二次函数的增减性求函数的最值，综合题，但难度不大．