Question

已知二次函数。

（1）求证：不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点。

（2）设a<0，当此函数图象与x轴的两个交点的距离为时，求出此二次函数的解析式。

（3）若此二次函数图象与x轴交于A、B两点，在函数图象上是否存在点P，使得△PAB的面积为，若存在求出P点坐标，若不存在请说明理由。

Answer 1

解（1）因为△=

所以不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点。

（2）设x₁、x₂是的两个根，则，，因两交点的距离是，所以。

即：

变形为：

所以：

整理得：

解方程得：

又因为：a<0

所以：a=－1

所以：此二次函数的解析式为

（3）设点P的坐标为，因为函数图象与x轴的两个交点间的距离等于，所以：AB=

所以：S_△PAB=

所以：

即：，则

当时，，即

解此方程得：=－2或3

当时，，即

解此方程得：=0或1

综上所述，所以存在这样的P点，P点坐标是(－2,3), (3,3), (0, －3)或(1, －3)。