Question

已知：线段OA、OB（OA＜OB）的长是一元二次方程x²-7x+12=0的两个根．
（1）求直线AB的解析式；
（2）在x轴上存在一点C，使△ABC的面积为9，求点C的坐标；
（3）在y轴上是否存在一点P，使△ABP为等腰三角形？若存在直接写出点P的坐标；若不存在请说明理由．

Answer 1

分析：（1）首先求出一元二次方程的解，进而得出OA，BO的长，即可得出A，B点坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）利用△ABC的面积为9，AO=3，则

1

2

×BC×AO=9，

1

2

BC′×AO=9，进而求出C点坐标；
（3）分别根据当AB=AP时，当AB=BP₁时，当AB=AP₂时，当AP₃=BP₃时，求出符合条件的点的坐标即可．

解答：解：（1）∵x²-7x+12=0
（x-4）（x-3）=0，
解得：x₁=4，x₂=3，
线段OA、OB（OA＜OB）的长是一元二次方程x²-7x+12=0的两个根，
∴OA=3，OB=4，
∴B点坐标为：（4，0），A点坐标为：（0，3），
设直线AB的解析式为；y=kx+b，则

4k+b=0 b=3

，
解得：

k=- 3 4 b=3

，
∴直线AB的解析式为：y=-

3

4

x+3；

（2）如图1所示：∵△ABC的面积为9，AO=3，
∴

1

2

×BC×AO=9，

1

2

BC′×AO=9，
解得：BC=6，BC′=6，
∵BO=4，
∴CO=2，OC′=4+6=10，
∴C点坐标为：（-2，0），C′点坐标为：（10，0）；

（3）如图2所示：
∵OA=3，OB=4，
∴AB=

42+32

=5，
当AB=AP时，此时OP=3+5=8，∴P点坐标为；（0，8）；
当AB=BP₁时，此时OP₁=AO=3，∴P₁点坐标为；（0，-3）；
当AB=AP₂时，此时OP₂=5-3=2，∴P₂点坐标为；（0，-2）；
当AP₃=BP₃时，设OP₃=x，
此时AP₃=3+x，BP₃=

x2+42

，
∴3+x=

x2+42

，
解得：x=

7

6

，
∴P₃点坐标为；（0，-

7

6

）
综上所述：符合条件的点的坐标为：（0，8），（0，-3），（0，-2），（0，-

7

6

）．

点评：此题主要考查了等腰三角形的性质以及待定系数法求一次函数解析式和三角形面积求法等知识，利用数形结合以及分类讨论得出是解题关键，注意不要漏解．