Question

如图，已知平面直角坐标系中，点A(2,m)，B(-3,n)为两动点，其中m﹥1，连结，，作轴于点，轴于点．

【小题1】求证：mn=6
【小题2】当时，抛物线经过两点且以轴为对称轴，求抛物线对应的二次函数的关系式
【小题3】在（2）的条件下，设直线交轴于点，过点作直线交抛物线于两点，问是否存在直线，使S_⊿POF:S_⊿QOF=1:2？若存在，求出直线对应的函数关系式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【小题1】点坐标分别为(2,m)，(-3,n)，∴BC=n,OC=3,OD=2,AD=m，
又，易证，∴,∴,∴mn=6．
【小题2】由（1）得，，又∴
即∴，又,∴,又∵mn="6," ∴∴m=6(),n=1
坐标为坐标为，易得抛物线解析式为．
【小题3】直线为，且与y轴交于点，
假设存在直线交抛物线于两点，且使S_⊿POF:S_⊿QOF=1:2，如图所示，
则有PF:FQ=1:2，作轴于M点，轴于点，
在抛物线上，设坐标为，
则FM=，易证△PMF∽QNF，∴,
∴QN=2PM=-2t,NF=2MF=，∴ 

点坐标为,Q点在抛物线上，
，解得，
坐标为，坐标为，
易得直线为．
根据抛物线的对称性可得直线的另解为．

解析