Question

如图，△ABC中，AB=AC，BD和CE是两条高，如果∠A=45°，则

DE

BC

=

2

2

．

Answer 1

分析：先根据AB=AC，BD和CE是两条高，∠A=45°，利用AAS得到△ACE≌△ABD，求得AD=AE，BE=CD，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，推出△AED∽△ABC，从而得到

AD

AC

=

AD

AB

=sin∠ABD=sin45°，即可解题．

解答：解：∵BD和CE是两条高，即BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
在△AEC和△ABD中

∠A=∠A ∠AEC=∠ADB AC=AB

，
∴△ACE≌△ABD（AAS），
∴AD=AE，
∴AB-AE=AC-AD，即BE=CD，
∵

AD

AB

=

AE

AC

=cosA=cos45°=

2

2

，且∠A为公共角，
∴△AED∽△ABC，
∴

ED

BC

=

AD

AC

，
又AB=AC，
∴

AD

AC

=

AD

AB

=sin∠ABD=sin45°=

2

2

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质、平行线段的判定等知识点的理解和掌握，解题时注意ED：BC正好是sin45°的函数值．