Question

如图，在△ABC中，BC＞AC，∠C=90°．
（1）在BC上作点M，使点M到点A，B的距离相等．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）当满足（1）的点M到AB，AC两边的距离相等时，求∠B的度数．

Answer 1

分析：（1）根据线段垂直平分线的作法作AB的垂直平分线即可；
（2）当点M到AB，AC两边的距离相等时则点M在上∠CAB的平分线上，进而得到∠CAM=∠MAB，根据ME垂直平分AB，可得AM=BM，根据等边对等角可得∠MAB=∠B，故∠CAM=∠MAB=∠B，再由∠C=90°，根据三角形内角和可得到答案．

解答：解：（1）如图所示：

（2）过点M作AB的垂线，垂足为E，连接AM，
∵点M到AB，AC两边的距离相等，
∴点M在上∠CAB的平分线上，
即∠CAM=∠MAB，
又∵ME垂直平分AB，
∴AM=BM，
∴∠MAB=∠B，
∴∠CAM=∠MAB=∠B，
又∵∠C=90°，
∴∠CAM+∠MAB+∠B=180°-90°=90°，
即3∠B=90°，
∠B=30°．

点评：此题主要考查了作线段垂直平分线的方法，以及线段垂直平分线，角平分线的性质，关键是正确画出图形，得到∠CAM=∠MAB=∠B．