题目内容
（2013•丹江口市模拟）如图，AB是⊙O的直径，BC是点B的直线，连接CO并延长，交⊙O于点D、E，连接AD并延长，交BC于点F且∠CBD=∠ADE．（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求证：
| BD |
| AD |
| CD |
| BC |
（3）若AB=1，tan∠CDF=
| ||
| 3 |
分析：（1）欲证BC是⊙O的切线，只需证明BC⊥AB即可；
（2）根据相似三角形（△BDC∽△EBC）的对应边成比例知
=
，进而得出AD=BE，即可得出
=
；
（3）根据已知得出DE是⊙O的直径，进而得出BO，DO的长，再利用（2）中相似的性质以及勾股定理求出即可．
（2）根据相似三角形（△BDC∽△EBC）的对应边成比例知
| BD |
| EB |
| DC |
| BC |
| BD |
| AD |
| CD |
| BC |
（3）根据已知得出DE是⊙O的直径，进而得出BO，DO的长，再利用（2）中相似的性质以及勾股定理求出即可．
解答：（1）证明：∵∠CBD=∠ADE，∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴∠DAB+∠DBA=∠CBD+∠DBA=90°，
∴BC⊥AB，
∴BC是⊙O的切线；
（2）证明：
∵∠BED=∠BAD（同弧所对的圆周角相等），即∠BEC=∠BAD，
∴∠DBC=∠BEC；
又∵∠BCD=∠ECB（公共角），
∴△BDC∽△EBC，
∴
=
，
∵∠BOE=∠AOD，
∴BE=AD，
∴
=
；
（3）解：∵AB=1，∴ED=1，BO=DO=
，
∵BO=AO=DO，
∴∠ODA=∠A=∠E，
∵∠CDF=∠ADE，
∴∠ODA=∠A=∠E=∠CDF，
∵tan∠CDF=
，
∴tan∠DEB=
=
，
∵
=
，
∴
=
，
∴设CD=
x，BC=3x，
∵BO2+BC2=CO2，
∴（
）2+（3x）2=（
+
x）2，
解得：x=
，
∴CD的值为：
×
=2．
（1）证明：∵∠CBD=∠ADE，∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角），∴∠DAB+∠DBA=∠CBD+∠DBA=90°，
∴BC⊥AB，
∴BC是⊙O的切线；
（2）证明：
∵∠BED=∠BAD（同弧所对的圆周角相等），即∠BEC=∠BAD，
∴∠DBC=∠BEC；
又∵∠BCD=∠ECB（公共角），
∴△BDC∽△EBC，
∴
| BD |
| EB |
| DC |
| BC |
∵∠BOE=∠AOD，
∴BE=AD，
∴
| BD |
| AD |
| CD |
| BC |
（3）解：∵AB=1，∴ED=1，BO=DO=
| 1 |
| 2 |
∵BO=AO=DO，
∴∠ODA=∠A=∠E，
∵∠CDF=∠ADE，
∴∠ODA=∠A=∠E=∠CDF，
∵tan∠CDF=
| ||
| 3 |
∴tan∠DEB=
| BD |
| BE |
| ||
| 3 |
∵
| BD |
| EB |
| DC |
| BC |
∴
| DC |
| BC |
| ||
| 3 |
∴设CD=
| 6 |
∵BO2+BC2=CO2，
∴（
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 6 |
解得：x=
| ||
| 3 |
∴CD的值为：
| ||
| 3 |
| 6 |
点评：本题主要考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、锐角三角函数定义等知识点，关键在于已知条件推出△BDC∽△EBC．
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