Question

设x，y为实数，且满足，则x+y=

1. A.
   1
2. B.
   一1
3. C.
   2
4. D.
   一2

Answer 1

C
分析：观察方程组，发现两方程相加后，所得方程等号坐标再利用平方和公式、提取公因数后，可转化为（x-1+y-1）[（x-1）²-（x-1）（y-1）+（y-1）²+2003]，右边恰好为0．再一步分析（x-1）²-（x-1）（y-1）+（y-1）²+2003＞0，因而只能是x-1+y-1=0，原题得解．
解答：
将①+②得，
（x-1）³+2003（x-1）+（y-1）³+2003（y-1）=0
?[（x-1）³+（y-1）³]+[2003（x-1）+2003（y-1）]=0
?（x-1+y-1）[（x-1）²-（x-1）（y+1）+（y-1）²]+2003（x-1+y-1）=0
?（x-1+y-1）[（x-1）²-（x-1）（y-1）+（y-1）²+2003]=0
∵（x-1）²-2（x-1）（y-1）+（y-1）²≥0
∴（x-1）²+（y-1）²≥2|（x-1）（y-1）|≥|（x-1）（y-1）|
∴（x-1）²-（x-1）（y-1）+（y-1）²+2003＞0
∴x-1+y-1=0，即x+y=2．
故选C．
点评：本题考查高次方程．在解题过程中用到了立方和公式、完全平方式、提取公因式．